| Golova | Дата: Среда, 23 Октября 2013, 17:18 | Сообщение # 1 |
 Постигший Истину
Преподаватель (1037)
18 |
6
Откуда: Йошкар-Ола
Статус: Offline
| Ребята!!!
скоро начинаются муниципальные, а затем и региональные олимпиады, так что начинаем тихонечко повторять уже изученное
начнем с задач на комбинаторику:
1. Сколькими способами можно поставить 15 белых и 15 черных шашек на 24 поля так, чтобы на каждом поле были или только белые, или только черные шашки? (Так располагаются шашки в игре "нарды".)
2. У меня 6 друзей, с каждым из которых я обедал 8 раз, с каждыми двумя - 5 раз, с каждыми тремя - 4 раза, с каждыми четырьмя - 3 раза, с каждыми пятью - 2 раза, со всеми шестью - 1 раз, а без каждого из них - 8 раз. Сколько раз я обедал один?
3. В лифт сели 8 человек. Сколькими способами они могут выйти на четырех этажах так, чтобы на каждом этаже вышел, по крайней мере, один человек?
4. Сколькими способами можно разбить 30 рабочих на 3 бригады по 10 человек в каждой бригаде? На 10 групп по 3 человека в каждой группе?
5. Числа от 1 до $2n$ разбиты на две группы по $n$ чисел в каждой. Докажите, что множества остатков попарных сумм чисел каждой группы при делении на $2n$ совпадают (в множество попарных сумм входят выражения вида $a + a$).
6. Клетчатый прямоугольник со сторонами больше одной клетки разбит на доминошки (прямоугольники $1 \times 2$). Пусть $A$ - количество квадратов $2 \times 2$, состоящих из двух доминошек, $B$ - количество квадратов $2 \times 2$, состоящих из клеток четырех разных доминошек. Докажите, что $A > B$.
7. Число $p$ - простое. Сколько существует натуральных чисел: а) меньших $p$ и взаимно простых с ним; б) меньших $p^2$ и взаимно простых с ним?
8. Пусть $\tau (n)$ - количество положительных делителей натурального числа $n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \ldots p_s^{\alpha_s}$, $\sigma (n)$ - их сумма. Докажите равенства:
$\tau (n) = (\alpha_1 + 1) (\alpha_2 + 1) \ldots (\alpha_s + 1); \quad \sigma(n) = \frac{p_1^{\alpha_1+1}-1}{p_1-1} \ldots \frac{p_s^{\alpha_s+1}-1}{p_s-1}$.
9. Сколько существует четырехзначных чисел, не делящихся на 998, у которых первая и последняя цифра четны?
10. Дано 10 натуральных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_{10}$. Известно, что любые 4 из них взаимно просты в совокупности. Докажите, что для некоторого $n > 4$ найдутся $n$ натуральных чисел $b_1, \ldots, b_n$, взаимно простых в совокупности и таких, что сумма любых трех из них делится на одно из $a_i$.
|
| |
|
|
| Golova | Дата: Среда, 23 Октября 2013, 17:20 | Сообщение # 2 |
|
Постигший Истину
Преподаватель (1037)
18 |
6
Откуда: Йошкар-Ола
Статус: Offline
| не стесняемся, если что-то непонятно, то можно спрашивать и в теме и в личке, и лично при встрече. 
|
| |
|
|
| Альфа | Дата: Четверг, 28 Ноября 2013, 07:11 | Сообщение # 3 |
 Местный житель
Методист (150)
1 |
1
Откуда: Йошкар-Ола
Статус: Offline
| 2 декабря начинается 3 сессия. Пора сдавать работы!
Мосунова Жанна Игоревна, методист Центра по математике
Написать письмо
|
| |
|
|
